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朱振刚 日记

色谱仪,光谱仪,红外线分析器制造

 
 
 

日志

 
 

可线性化的非线性回归模型的线性化方法  

2015-12-19 20:14:10|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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下面给出几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型。

    (一)指数函数模型(见图8.8

    指数函数模型的一般形式为

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                                                       可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 式两边取对数,得

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则可将原模型化为标准的线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                                                     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

模型 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 即可利用一元线性回归分析方法进行处理。

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

8.8  指数函数曲线示意图

    8.17  假设某企业15年间产值的统计资料如表8.13所示,试建立该企业产值随时间变化的回归模型

8.13  某企业15年间产值的统计资料

   份

产值(百万元) 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

时间变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

1986

3.68

1.30291

1

1987

3.34

1.20597

2

1988

4.93

1.59534

3

1989

6.20

1.82455

4

1990

7.17

1.96991

5

1991

8.38

2.12585

6

1992

8.51

2.14124

7

1993

9.08

2.20607

8

1994

13.51

2.60343

9

1995

14.34

2.66305

10

1996

17.89

2.88424

11

1997

18.62

2.92424

12

1998

23.87

3.17262

13

1999

26.44

3.27488

14

2000

32.84

3.49165

15

    解 首先将1986 – 2000年分别以121415替代作为时间变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 的取值。然后根据原始数据作出散点图。从图上可以看出, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 之间大致呈现指数曲线函数形式,因此该企业产值与时间变量之间的关系适用指数函数曲线模型

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

两边取对数,得

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则可将原模型化为标准的线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

对于新的被解释变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 有关数据可由8.13的原始数据算出,并列在该表的第三列。于是,我们可以应用最小二乘法得到样本回归方程(参数下面括号内的数字为 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 检验值)

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

          可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

由于 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,所以 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

最后得到的样本回归方程为

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

param name=quality value=high>

    (二)幂函数模型

    幂函数模型的一般形式为

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                                               可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 式两边取对数,得

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则可将原模型化为标准的线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                                 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

模型 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 即可利用多元线性回归分析方法进行处理。

    特别地,当 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 时,模型 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 为一元幂函数模型(见图8.9

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

两边取对数,可将一元幂函数模型化为一元线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                                               可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

然后,按一元线性回归分析方法进行处理。

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

8.9  一元幂函数曲线示意图

    8.18 某商品的需求量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 与价格 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 的统计资料如表8.14所示,试建立该种商品的需求函数模型(需求函数模型可用价格的幂函数表示)。

8.14  某种商品的需求量与价格的统计资料

   

  可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 (元)

需求量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 (件)

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

1

61

543

4.1109

6.2971

2

54

580

3.9890

6.3630

3

50

618

3.9120

6.4265

4

43

695

3.7612

6.5439

5

38

724

3.6376

6.5848

6

36

812

3.5835

6.6995

7

28

887

3.3322

6.7878

8

23

991

3.1355

6.8987

9

19

1186

2.9444

7.0783

10

10

1940

2.3026

7.5704

    设需求函数模型为

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

param name=quality value=high>

两边取对数,可将一元幂函数模型化为一元线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则可将原模型化为标准的一元线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

param name=quality value=high>

对于新的解释变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 新的被解释变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 有关数据可由8.14的原始数据算出,并列在该表的最后两列。于是,我们可以应用最小二乘法得到样本回归方程(参数下面括号内的数字为 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 检验值)

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

           可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记   可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

因为    可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

所以    可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

故需求函数为

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

    8.19  对于柯布道格拉斯 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 生产函数模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

其中, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 表示产出量, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 表示资金投入量, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 表示劳动投入量, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 是随机误差项,A α β 为未知参数。这是一个 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 幂函数模型。试利用天津市1980—1996年间的有关统计资料,估计天津市全社会的 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 生产函数。

    :全社会口径的产出量指标选用国内生产总值GDP,资金投入量指标包括两部分:固定资产原值(或净值)和定额流动资金平均余额,劳动投入量指标选用全部从业人员数。采集的基础数据如表8.15所示。

8.15  天津市19801996年间GDP、资金和从业人员统计资料

年份

GDP(当年价格)
(
亿元)

资金可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记
(
亿元)

从业人员可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记(万人)

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

1980

103.52

461.67

394.79

4.6398

6.1349

5.9784

1981

107.96

476.32

413.02

4.6818

6.1661

6.0239

1892

114.10

499.13

420.50

4.7371

6.2129

6.0414

1983

123.40

527.22

435.60

4.8154

6.2676

6.0767

1984

147.47

561.02

447.50

4.9936

6.3298

6.1037

1985

175.71

632.11

455.90

5.1688

6.4491

6.1223

1986

194.67

710.51

466.94

5.2713

6.5660

6.1462

1987

220.00

780.12

470.93

5.3936

6.6594

6.1547

1988

259.64

895.66

465.15

5.5593

6.7976

6.1424

1989

283.34

988.65

469.79

5.6466

6.8963

6.1523

1990

310.95

1075.37

470.07

5.7396

6.9804

6.1529

1991

342.75

1184.58

479.67

5.8370

7.0771

6.1731

1992

411.24

1344.14

485.70

6.0192

7.2035

6.1856

1993

536.10

1688.02

503.10

6.2843

7.4313

6.2208

1994

725.14

2221.42

513.00

6.5864

7.7059

6.2403

1995

920.11

2843.48

515.30

6.8245

7.9528

6.2409

1996

1102.10

3364.34

512.00

7.0050

8.1210

6.2383

  资料来源:《天津统计年鉴》

      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 生产函数模型 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记  两边取对数,得到

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

令      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,  可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,  可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,   可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则可将 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

对于新的变量 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 有关数据可由8.15的原始数据算出,并列在该表的后三列。于是,我们可以应用最小二乘法得到样本回归方程(参数下面括号内的数字为 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 检验值)

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

             可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记                  

最后,得到估计的 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 生产函数方程为

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

不可线性化的非线性回归模型的估计方法

    如果非线性回归模型无论采用什么样的变换都不可能实现其线性化,则称之为不可线性化的非线性回归模型。

    这种模型的估计方法是迭代线性化逐步逼近法,其基本步骤是:

    第一步,首先通过泰勒级数展开将模型的非线性函数在某一组初始参数估计值附近线性化;

    第二步,对这一线性化的函数应用普通最小二乘法,得到一组新的参数估计值;

    第三步 再使非线性函数在新的参数估计值附近线性化,对新的线性化的模型再次应用普通最小二乘法,又得到一组新的参数估计值;

    第四步,不断重复上述过程,直至参数估计值收敛为止,即第 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 组参数估计值与第 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 组参数估计值没有显著差别时为止。

    这个方法的优点是:

    1. 有比较高的计算效率。如果被估计的非线性函数很接近一个线性函数,则只需要几次迭代就可以得到满意的结果;

    2. 因为每一次迭代都是一次线性回归,因此我们可以进行标准的显著性检验、拟合优度检验等各种统计检验。

    8.20  写出利用迭代线性化逐步逼近法估计非线性消费函数模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

的具体步骤,其中 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 表示总消费, 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 表示可支配收入。

      对于线性消费函数模型,应有 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,所以我们可以考虑将参数的初始估计值取为 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

    第一步,首先将消费函数在初始值 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 处作泰勒级数展开,然后取线性近似。

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

                       可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

因为 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

所以有

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

                      可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

代入消费函数模型,得到

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

移项后得

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

则将非线性消费函数模型化为标准的二元线性回归模型

        可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

    第二步,利用普通最小二乘法得到一组新的未、知参数估计值 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

    第三步,将参数初始估计值由可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 换成可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,重复上述步骤,又得到一组新的最小二乘估计值可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 直至估计值达到预定的精度为止。

    平狄克(R.S.Pindyck)和鲁宾费尔得(D.L.Rubinfeld)利用美国19471季度-1995第2季度的时间序列季度数据,经过22次循环迭代之后达到收敛,得到估计的消费函数方程为

         可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记     可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记

可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 的标准差分别为可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 ,因此在可线性化的非线性回归模型的线性化方法 - zhuzhengang666 - 朱振刚          日记 的显著性水平下,三个参数估计值都是显著的,而且有很高的拟合优度。

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